Autor: Rosa Isela Ríos Hernández
Los polinomios tienen las siguientes propiedades para verificar su igualdad:
Propiedades de la igualdad Sean p (x), q (x) y r (x) polinomios
• Reflexiva p (x) = p (x)
• Simétrica Si p (x) = q (x), entonces q (x) = p (x)
• Transitiva Si p (x) = q (x) y q(x) = r (x), entonces p (x) = r (x)
• Monotonía de la suma Si p (x) = q (x), entonces p (x) + r (x) = q (x) + r (x)
• Monotonía de la multiplicación Si p (x) = q (x), entonces p (x) r (x) = q (x) r (x)
Es importante señalar que dos o más polinomios son iguales si sus términos son iguales; es decir, los factores numérico y literal son los mismos.
domingo, 17 de junio de 2007
viernes, 15 de junio de 2007
ALGORITMOS GEOMÉTRICOS Y ARITMÉTICOS
Autor: Fernando López Juárez
Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permiten hallar la solución de un problema. Los algoritmos sirven para ejecutar una tarea y resolver problemas matemáticos. Para enlistar los elementos de una sucesión, sea geométrica o aritmética, se hace uso de los algoritmos.
Series y sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una regla dada. Si una sucesión tiene un último término se le llama sucesión finita; si el número de términos es ilimitado, se le llama sucesión infinita. La suma de los términos de una sucesión recibe el nombre de serie; una serie puede ser finita o infinita, dependiendo de la sucesión que la genera.
Ejemplos de sucesiones y su correspondiente regla:
1. 5, 25,125, 625,… Cada elemento se multiplica por 5, para encontrar el siguiente.
2. 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6,… Se suma 2, se resta 1, así sucesivamente.
3. 2, 3, 5, 7, 11,… Sucesión de números primos.
4. 4, 15, 224, 50175,… Al cuadrado, menos uno.
5. 1, 5, 2, 10, 3, 15, 4, 20,… Es una sucesión alterna, la posición impar corresponde a nú-meros naturales y la posición par son múltiplos de 5.
Casos especiales de sucesiones son las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tal, que cada uno de los términos posteriores a otro se obtiene añadiendo al término anterior una cantidad fija llamada diferencia de la progresión.
Autor: Fernando López Juárez
Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permiten hallar la solución de un problema. Los algoritmos sirven para ejecutar una tarea y resolver problemas matemáticos. Para enlistar los elementos de una sucesión, sea geométrica o aritmética, se hace uso de los algoritmos.
Series y sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una regla dada. Si una sucesión tiene un último término se le llama sucesión finita; si el número de términos es ilimitado, se le llama sucesión infinita. La suma de los términos de una sucesión recibe el nombre de serie; una serie puede ser finita o infinita, dependiendo de la sucesión que la genera.
Ejemplos de sucesiones y su correspondiente regla:
1. 5, 25,125, 625,… Cada elemento se multiplica por 5, para encontrar el siguiente.
2. 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6,… Se suma 2, se resta 1, así sucesivamente.
3. 2, 3, 5, 7, 11,… Sucesión de números primos.
4. 4, 15, 224, 50175,… Al cuadrado, menos uno.
5. 1, 5, 2, 10, 3, 15, 4, 20,… Es una sucesión alterna, la posición impar corresponde a nú-meros naturales y la posición par son múltiplos de 5.
Casos especiales de sucesiones son las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tal, que cada uno de los términos posteriores a otro se obtiene añadiendo al término anterior una cantidad fija llamada diferencia de la progresión.
Autor: Fernando López Juárez
miércoles, 30 de mayo de 2007
LENGUAJE ALGEBRAICO
Autor: Fernando López Juárez
Las matemáticas estudian diferentes problemáticas que se presentan más allá del campo de los números reales; por ejemplo: en la expresión “tengo cinco monedas de diez pesos” po-demos abreviar 5d, donde la letra d representa una moneda de diez pesos, o “tengo diez monedas de cinco pesos”, por 10c, donde c representa una moneda de cinco pesos; o “tengo cuatro monedas de diez pesos y dos monedas de cinco pesos”, por 4d + 2c; es decir, se aso-cia a los números las unidades que representan de manera abreviada, dando lugar al lengua-je algebraico.
Ejemplos:
I. A continuación, se representan algunos enunciados verbales en expresiones algebraicas.
1. La suma de dos números: a + b
2. Un número aumentado en 5 unidades: n +5
3. La diferencia del doble de un número y el triple de otro: 2x − 3y
4. El doble producto de un número, disminuido en dos unidades: 2x − 8
El lenguaje algebraico es la representación de hechos, eventos y fenómenos mediante números, letras y símbolos, que permite su adecuada interpretación para la solución de situaciones problemáticas.
Ejemplos:
I. A continuación, se representan algunos enunciados verbales en expresiones algebraicas.
1. La suma de dos números: a + b
2. Un número aumentado en 5 unidades: n +5
3. La diferencia del doble de un número y el triple de otro: 2x − 3y
4. El doble producto de un número, disminuido en dos unidades: 2x – 8
Anécdota de Gauss
Ocurrió en la escuela de Brunswich, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba con nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100.La suma de los cien sumandos había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que al poco tiempo, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban100 parejas, bastaba hacer 100 (101)/2 = 5050. Gauss había descubierto por sí solo, y a la edad de nueve años, el método para sumar las progresiones aritméticas.
Las matemáticas estudian diferentes problemáticas que se presentan más allá del campo de los números reales; por ejemplo: en la expresión “tengo cinco monedas de diez pesos” po-demos abreviar 5d, donde la letra d representa una moneda de diez pesos, o “tengo diez monedas de cinco pesos”, por 10c, donde c representa una moneda de cinco pesos; o “tengo cuatro monedas de diez pesos y dos monedas de cinco pesos”, por 4d + 2c; es decir, se aso-cia a los números las unidades que representan de manera abreviada, dando lugar al lengua-je algebraico.
Ejemplos:
I. A continuación, se representan algunos enunciados verbales en expresiones algebraicas.
1. La suma de dos números: a + b
2. Un número aumentado en 5 unidades: n +5
3. La diferencia del doble de un número y el triple de otro: 2x − 3y
4. El doble producto de un número, disminuido en dos unidades: 2x − 8
El lenguaje algebraico es la representación de hechos, eventos y fenómenos mediante números, letras y símbolos, que permite su adecuada interpretación para la solución de situaciones problemáticas.
Ejemplos:
I. A continuación, se representan algunos enunciados verbales en expresiones algebraicas.
1. La suma de dos números: a + b
2. Un número aumentado en 5 unidades: n +5
3. La diferencia del doble de un número y el triple de otro: 2x − 3y
4. El doble producto de un número, disminuido en dos unidades: 2x – 8
Anécdota de Gauss
Ocurrió en la escuela de Brunswich, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba con nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100.La suma de los cien sumandos había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que al poco tiempo, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban100 parejas, bastaba hacer 100 (101)/2 = 5050. Gauss había descubierto por sí solo, y a la edad de nueve años, el método para sumar las progresiones aritméticas.
martes, 29 de mayo de 2007
POLINOMIOS, ¿PARA QUÉ?
Autor: Fernando López Juárez
Seguramente ya conoces el término polinomio; pero, cabe hacerte la pregunta: ¿para qué te sirve? y entre algunas respuestas se encuentran las siguientes:
Modelar y expresar en forma simplificada una situación problemática.
Mostrar una generalización del lenguaje aritmético.
Hacer operaciones en el lenguaje algebraico: suma, resta, multiplicación y división.
A continuación, se presentan dos situaciones particulares que pueden modelarse con lenguaje aritmético y, posteriormente, se generalizan para modelarlas mediante polinomios.
1. Un joven tiene en la bolsa 3 billetes de $20.00, 4 monedas de $5.00, 5 monedas de $2.00, y 2 monedas de $1.00, lo cual se representa con el modelo 3(20) + 4(5) + 5(2) + 2(1). Si se generaliza la situación así un joven trae en la bolsa: billetes de $20.00, monedas de $5.00, monedas de $2.00 y monedas de $1.00, entonces, el modelo que representa esta situación es el polinomio: 20a + 5b + 2c + d, donde a, b, c y d representan el número de billetes de $20.00, las monedas de $5.00, las monedas de $2.00 y las monedas de $1.00, respectivamente.
2. Laura se traslada a una papelería que está en el centro de su ciudad para comprar 3 libretas cuyo costo unitario es de $12.00; si en el traslado gasta $10.00 en transporte, el modelo que representa el gasto que hizo es: 3(12) + 10. Si compra lo mismo en la papelería de la esquina de su casa, en donde cada libreta cuesta $16.00, el modelo de lo que gasta es: 3(16). Si se generaliza la situación por: Laura debe comprar 3 libretas en una papelería del centro de su ciudad, en el traslado gastará $10.00, pero desconoce el precio de cada libreta, entonces el modelo que representa esta situación es el polinomio: 3x + 10, en donde x representa el costo por libreta.
En los polinomios, se debe tener en cuenta las siguientes observaciones:
Un polinomio está formado por términos, los cuales son separados únicamente por los signos de más y de menos.
Un término es una expresión compuesta por un factor numérico (coeficiente) y un factor literal (variables y exponentes). Una variable también es llamada incógnita, literal o indeterminada.
Ejemplo: -3x2
Generalmente, de acuerdo con el número de términos, el polinomio recibe un nombre:
Número de Términos Nombre
Uno Monomio
Dos Binomio
Tres Trinomio
Más de tres Polinomio
Se puede obtener el valor numérico de un polinomio sustituyendo la variable “x” por un valor numérico dado y efectuar las operaciones indicadas.
Para representar los polinomios en una variable se utilizará la notación: p(x), q(m), r(t), en donde la letra dentro del paréntesis indica la variable del polinomio; o bien, sólo las letras p, q, r.
Seguramente ya conoces el término polinomio; pero, cabe hacerte la pregunta: ¿para qué te sirve? y entre algunas respuestas se encuentran las siguientes:
Modelar y expresar en forma simplificada una situación problemática.
Mostrar una generalización del lenguaje aritmético.
Hacer operaciones en el lenguaje algebraico: suma, resta, multiplicación y división.
A continuación, se presentan dos situaciones particulares que pueden modelarse con lenguaje aritmético y, posteriormente, se generalizan para modelarlas mediante polinomios.
1. Un joven tiene en la bolsa 3 billetes de $20.00, 4 monedas de $5.00, 5 monedas de $2.00, y 2 monedas de $1.00, lo cual se representa con el modelo 3(20) + 4(5) + 5(2) + 2(1). Si se generaliza la situación así un joven trae en la bolsa: billetes de $20.00, monedas de $5.00, monedas de $2.00 y monedas de $1.00, entonces, el modelo que representa esta situación es el polinomio: 20a + 5b + 2c + d, donde a, b, c y d representan el número de billetes de $20.00, las monedas de $5.00, las monedas de $2.00 y las monedas de $1.00, respectivamente.
2. Laura se traslada a una papelería que está en el centro de su ciudad para comprar 3 libretas cuyo costo unitario es de $12.00; si en el traslado gasta $10.00 en transporte, el modelo que representa el gasto que hizo es: 3(12) + 10. Si compra lo mismo en la papelería de la esquina de su casa, en donde cada libreta cuesta $16.00, el modelo de lo que gasta es: 3(16). Si se generaliza la situación por: Laura debe comprar 3 libretas en una papelería del centro de su ciudad, en el traslado gastará $10.00, pero desconoce el precio de cada libreta, entonces el modelo que representa esta situación es el polinomio: 3x + 10, en donde x representa el costo por libreta.
En los polinomios, se debe tener en cuenta las siguientes observaciones:
Un polinomio está formado por términos, los cuales son separados únicamente por los signos de más y de menos.
Un término es una expresión compuesta por un factor numérico (coeficiente) y un factor literal (variables y exponentes). Una variable también es llamada incógnita, literal o indeterminada.
Ejemplo: -3x2
Generalmente, de acuerdo con el número de términos, el polinomio recibe un nombre:
Número de Términos Nombre
Uno Monomio
Dos Binomio
Tres Trinomio
Más de tres Polinomio
Se puede obtener el valor numérico de un polinomio sustituyendo la variable “x” por un valor numérico dado y efectuar las operaciones indicadas.
Para representar los polinomios en una variable se utilizará la notación: p(x), q(m), r(t), en donde la letra dentro del paréntesis indica la variable del polinomio; o bien, sólo las letras p, q, r.
martes, 22 de mayo de 2007
EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Autor: Leticia Arcos Pozos
Los números han jugado un papel muy importante en la historia de la civilización, aplicándose en distintas situaciones de nuestra vida; por ejemplo: medir los límites de una propiedad, predecir el estado del tiempo, computar inversiones, cotizar por red los artículos, construir casas y puentes, dibujar mapas, entender el movimiento de los astros, aumentar los negocios y el comercio, descubrir nuevos principios científicos, inventar nuevas máquinas, crear cerebros electrónicos, desarrollar estrategias en los juegos, dirigir el tráfico y las comunicaciones, producir nuevas vacunas y medicinas, controlar la energía atómica, navegar en el espacio, descubrir nuevos minerales, predecir el crecimiento de la población, entre otros. Para todo lo anterior, y de manera implícita, los consideramos como un campo, haciendo uso de sus operaciones y axiomas.
El concepto de campo es una de las formas de presentar el conjunto de los números reales como un conjunto numérico con el cual se efectúan operaciones definidas que satisfacen determinados axiomas.
Operaciones
Al realizar operaciones con los números reales (sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz), hay ciertas reglas (propiedades) a seguir, y es muy importante conocerlas y emplearlas adecuadamente.
Algunas reglas importantes en el uso de las operaciones son:
· En la suma (adición):
Cuando los números reales tienen el mismo signo, se suman y el resultado queda con el signo que tienen los números.
Cuando los números reales tienen diferente signo, se resta al mayor el menor, y el resultado queda con el signo del mayor, considerando el valor absoluto de los números.
· En la multiplicación (producto) y división (cociente):
Cuando los números reales tienen el mismo signo, se multiplican o dividen, y el resultado queda con signo positivo.
Cuando los números reales tienen diferente signo, se multiplican o dividen, y el resultado queda con signo negativo.
· En la potenciación:
Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) entero positivo, significa que hay que multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.
Cuando el exponente es negativo se puede convertir a positivo, invirtiendo el lugar en donde se encuentre la potencia, de numerador a denominador o viceversa.
Cuando el exponente es cero, el resultado es 1.
Cuando el exponente es racional, indica un radical, en donde el numerador es el exponente del radicando, y el denominador el índice del radical.
· En la radicación:
Cuando a un número (radicando) se le extrae su raíz (índice del radical) positiva, significa que hay que encontrar un número que, multiplicado por sí mismo tantas veces como lo indique el índice del radical, sea el radicando.
· En operaciones combinadas:
Para resolver ejercicios combinados con diferentes operaciones, primero hay que separar en términos. Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término.
Para resolver ejercicios con símbolos de agrupación: llaves {}, corchetes [] o paréntesis ( ), se sugiere simplificar de “adentro hacia afuera”, es decir, realizar las operaciones dentro de los paréntesis y eliminarlos, después efectuar las operaciones dentro de los corchetes y eliminarlos y, por último, llevar a cabo las operaciones dentro de las llaves y eliminarlas.
Los números han jugado un papel muy importante en la historia de la civilización, aplicándose en distintas situaciones de nuestra vida; por ejemplo: medir los límites de una propiedad, predecir el estado del tiempo, computar inversiones, cotizar por red los artículos, construir casas y puentes, dibujar mapas, entender el movimiento de los astros, aumentar los negocios y el comercio, descubrir nuevos principios científicos, inventar nuevas máquinas, crear cerebros electrónicos, desarrollar estrategias en los juegos, dirigir el tráfico y las comunicaciones, producir nuevas vacunas y medicinas, controlar la energía atómica, navegar en el espacio, descubrir nuevos minerales, predecir el crecimiento de la población, entre otros. Para todo lo anterior, y de manera implícita, los consideramos como un campo, haciendo uso de sus operaciones y axiomas.
El concepto de campo es una de las formas de presentar el conjunto de los números reales como un conjunto numérico con el cual se efectúan operaciones definidas que satisfacen determinados axiomas.
Operaciones
Al realizar operaciones con los números reales (sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz), hay ciertas reglas (propiedades) a seguir, y es muy importante conocerlas y emplearlas adecuadamente.
Algunas reglas importantes en el uso de las operaciones son:
· En la suma (adición):
Cuando los números reales tienen el mismo signo, se suman y el resultado queda con el signo que tienen los números.
Cuando los números reales tienen diferente signo, se resta al mayor el menor, y el resultado queda con el signo del mayor, considerando el valor absoluto de los números.
· En la multiplicación (producto) y división (cociente):
Cuando los números reales tienen el mismo signo, se multiplican o dividen, y el resultado queda con signo positivo.
Cuando los números reales tienen diferente signo, se multiplican o dividen, y el resultado queda con signo negativo.
· En la potenciación:
Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) entero positivo, significa que hay que multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.
Cuando el exponente es negativo se puede convertir a positivo, invirtiendo el lugar en donde se encuentre la potencia, de numerador a denominador o viceversa.
Cuando el exponente es cero, el resultado es 1.
Cuando el exponente es racional, indica un radical, en donde el numerador es el exponente del radicando, y el denominador el índice del radical.
· En la radicación:
Cuando a un número (radicando) se le extrae su raíz (índice del radical) positiva, significa que hay que encontrar un número que, multiplicado por sí mismo tantas veces como lo indique el índice del radical, sea el radicando.
· En operaciones combinadas:
Para resolver ejercicios combinados con diferentes operaciones, primero hay que separar en términos. Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término.
Para resolver ejercicios con símbolos de agrupación: llaves {}, corchetes [] o paréntesis ( ), se sugiere simplificar de “adentro hacia afuera”, es decir, realizar las operaciones dentro de los paréntesis y eliminarlos, después efectuar las operaciones dentro de los corchetes y eliminarlos y, por último, llevar a cabo las operaciones dentro de las llaves y eliminarlas.
domingo, 29 de abril de 2007
DESARROLLO DEL SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Autor: Rosa Isela Ríos Hernández
A través de la evolución de las necesidades humanas, se formaron diferentes conjuntos de números tales como: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales; cada uno de ellos tiene características muy particulares, las cuales veremos más adelante.
Conjuntos de números
N: Naturales
Z: Enteros
Q: Racionales
I , Q': Irracionales
R: Reales
Notación de conjuntos
Es preciso conocer la notación de conjuntos para representar el conjunto de números reales.
Simbología
ε “pertenece a”
⊂ “contenido en” ⋃ “unión”
∣ “tal que”
∉ “no pertenece a”
⊄ “no contenido en”
⋂ “intersección”
⌀ “conjunto vacío”
Qc, Q' “Q complemento”
En la notación de conjuntos se debe tener en cuenta las siguientes observaciones:
· Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: N, Z, Q, I, R,...
· Los elementos que forman parte de un conjunto tienen cualidades específicas y no se repiten. Se representan con letras minúsculas: k, n, x, y,…
· Un conjunto se representa colocando sus elementos entre llaves: {k, n, x, y}, si el conjunto es finito; o bien, {k, n, x, y,…}, si el conjunto es infinito.
· Si un elemento X es parte de un conjunto Z, se simboliza X ε Z (léase “X pertene-ce a Z”). Su negación es X ∉ Z (léase “X no pertenece a Z”).
· Si un conjunto N es parte de un conjunto R, se dice que N es subconjunto de R y se simboliza N ⊂ R (léase “N contenido en R”). Su negación es N ⊄ R (léase “N no contenido en R”).
· La notación por extensión que define un conjunto muestra todos los elementos del conjunto.
· La notación por comprensión que define un conjunto utiliza variables y una propo-sición que indica las propiedades de sus elementos.
· El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se representa por ⌀.
· El ⌀ está contenido en todo conjunto, y todo conjunto está contenido en sí mismo.
· La unión (⋃) de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de ambos conjuntos. Si N ⊂ R, entonces N ⋃ R= R
· La intersección (⋂) de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene los elementos comunes de ambos conjuntos. Si N ⊂ R, entonces N ⋂ R = N
· Si Q es un conjunto, Q' es su conjunto complemento y R es el conjunto universo, entonces los elementos que pertenecen a Q' son todos aquellos que pertenecen a R, pero no a Q.
Conjunto de números naturales (N)
Los números naturales son el primer conjunto de números que se formó por la necesidad de contar los objetos de la naturaleza. ¿Cuántos frutos hay…?, ¿cuántas personas van…?, ¿cuántos árboles se sembraron…?, ¿cuántas plantas se cultivaron…?, etcétera.
La representación del conjunto de números naturales, mediante la notación por extensión, es la siguiente:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} Ejemplos de subconjuntos de N son:
Unidad = {1}
Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}
Compuestos ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}
Múltiplos de k = {k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k,…}
Múltiplos de 4= {4, 8, 12, 16, 20, 24,…}
Divisores de 12= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12…}
Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
Conjunto de números enteros (Z)
Los números enteros contienen al cero y a los números negativos, mismos que pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas (débito), profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero y déficit monetario, entre otros. El hecho de que un número sea entero significa que no tiene parte decimal; es decir, no puede dividirse, a menos que la división sea exacta. El origen del uso de la letra z para representar a este conjunto proviene del alemán zahlen, que significa “números”.
La representación del conjunto de números enteros, mediante la notación por extensión, es la siguiente:
z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Ejemplos de subconjuntos de z son:
Enteros positivos = {1, 2, 3, 4, 5,…}
Enteros negativos = {…, -4, -3, -2, -1}
Enteros no negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
Enteros no positivos = {…, -4, -3, -2, -1, 0}
Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjunto de números racionales (Q)
Con los números racionales se da solución a una infinidad de situaciones problemáticas en distintos contextos; por ejemplo: “esperé 3/4 de hora en el banco”, “recorres 1/2 kilómetro de la escuela a tu casa”, “compré un libro en $150.50”, “Luis pesa 58.2 kg”, entre otros. El término “racional” se refiere a “ración” o parte de un todo. El uso de la letra Q es por el término quotient, que significa “cociente” en varios idiomas europeos.
La representación del conjunto de números racionales, utilizando la notación por comprensión, es:
q = {ab∣a, b ε z, b ≠ 0}
Léase “el conjunto de números racionales es igual al conjunto de elementos a/b, donde a y b pertenecen al conjunto de números enteros y b es distinto de cero”.
Los números racionales tienen representación decimal, con las siguientes propiedades:
Exacta: Cuando tiene un número finito de cifras decimales.
Periódica pura: Cuando toda la parte decimal se repite indefinidamente y cada repetición se llama periodo, se representa trazando una línea horizontal sobre el periodo.
Periódica mixta: Cuando no toda la parte decimal se repite.
Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin el punto; en el denominador un uno (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales, y se reduce a la fracción más simple.
Decimales periódicos puros: Se escribe como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto y la parte entera y como denominador, tantos “9” como números tenga el periodo.
Decimales periódicos mixtos: Se escribe como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto menos el número sin la parte periódica (también sin el punto) y el denominador tendrá tantos “9” como tiene el periodo, seguidos de tantos “0” como cifras decimales no periódicas haya.
Existen números cuya parte decimal es infinita no periódica, generándose así el conjunto de números irracionales.
Conjunto de números irracionales (I)
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros ya que poseen cifras decimales infinitas no periódicas. Así, un número irracional puede definirse como un decimal infinito no periódico; se encuentran en distintos contextos, por ejemplo: ¿Cuál debe ser el diámetro de un domo circular para que su perímetro sea de 4π m? ¿Cuál es la solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0? ¿Dónde hay que colocar las efes de un violín para lograr las mejores notas?, entre otros.
La representación del conjunto de números irracionales se hace mediante una I o Q', esta última por ser el complemento del conjunto de números racionales (Q).
Números irracionales representados con símbolos
π = 3.1415926535…, número de veces que se inscribe el diámetro de un círculo en su perímetro.
e = 2.7182818284…, base de los logaritmos naturales.
Փ = 1.6180339887…=152+, número áureo. Razón especialmente armónica entre los lados de un rectángulo.
A través de la evolución de las necesidades humanas, se formaron diferentes conjuntos de números tales como: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales; cada uno de ellos tiene características muy particulares, las cuales veremos más adelante.
Conjuntos de números
N: Naturales
Z: Enteros
Q: Racionales
I , Q': Irracionales
R: Reales
Notación de conjuntos
Es preciso conocer la notación de conjuntos para representar el conjunto de números reales.
Simbología
ε “pertenece a”
⊂ “contenido en” ⋃ “unión”
∣ “tal que”
∉ “no pertenece a”
⊄ “no contenido en”
⋂ “intersección”
⌀ “conjunto vacío”
Qc, Q' “Q complemento”
En la notación de conjuntos se debe tener en cuenta las siguientes observaciones:
· Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: N, Z, Q, I, R,...
· Los elementos que forman parte de un conjunto tienen cualidades específicas y no se repiten. Se representan con letras minúsculas: k, n, x, y,…
· Un conjunto se representa colocando sus elementos entre llaves: {k, n, x, y}, si el conjunto es finito; o bien, {k, n, x, y,…}, si el conjunto es infinito.
· Si un elemento X es parte de un conjunto Z, se simboliza X ε Z (léase “X pertene-ce a Z”). Su negación es X ∉ Z (léase “X no pertenece a Z”).
· Si un conjunto N es parte de un conjunto R, se dice que N es subconjunto de R y se simboliza N ⊂ R (léase “N contenido en R”). Su negación es N ⊄ R (léase “N no contenido en R”).
· La notación por extensión que define un conjunto muestra todos los elementos del conjunto.
· La notación por comprensión que define un conjunto utiliza variables y una propo-sición que indica las propiedades de sus elementos.
· El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se representa por ⌀.
· El ⌀ está contenido en todo conjunto, y todo conjunto está contenido en sí mismo.
· La unión (⋃) de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de ambos conjuntos. Si N ⊂ R, entonces N ⋃ R= R
· La intersección (⋂) de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene los elementos comunes de ambos conjuntos. Si N ⊂ R, entonces N ⋂ R = N
· Si Q es un conjunto, Q' es su conjunto complemento y R es el conjunto universo, entonces los elementos que pertenecen a Q' son todos aquellos que pertenecen a R, pero no a Q.
Conjunto de números naturales (N)
Los números naturales son el primer conjunto de números que se formó por la necesidad de contar los objetos de la naturaleza. ¿Cuántos frutos hay…?, ¿cuántas personas van…?, ¿cuántos árboles se sembraron…?, ¿cuántas plantas se cultivaron…?, etcétera.
La representación del conjunto de números naturales, mediante la notación por extensión, es la siguiente:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} Ejemplos de subconjuntos de N son:
Unidad = {1}
Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}
Compuestos ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}
Múltiplos de k = {k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k,…}
Múltiplos de 4= {4, 8, 12, 16, 20, 24,…}
Divisores de 12= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12…}
Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
Conjunto de números enteros (Z)
Los números enteros contienen al cero y a los números negativos, mismos que pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas (débito), profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero y déficit monetario, entre otros. El hecho de que un número sea entero significa que no tiene parte decimal; es decir, no puede dividirse, a menos que la división sea exacta. El origen del uso de la letra z para representar a este conjunto proviene del alemán zahlen, que significa “números”.
La representación del conjunto de números enteros, mediante la notación por extensión, es la siguiente:
z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Ejemplos de subconjuntos de z son:
Enteros positivos = {1, 2, 3, 4, 5,…}
Enteros negativos = {…, -4, -3, -2, -1}
Enteros no negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
Enteros no positivos = {…, -4, -3, -2, -1, 0}
Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjunto de números racionales (Q)
Con los números racionales se da solución a una infinidad de situaciones problemáticas en distintos contextos; por ejemplo: “esperé 3/4 de hora en el banco”, “recorres 1/2 kilómetro de la escuela a tu casa”, “compré un libro en $150.50”, “Luis pesa 58.2 kg”, entre otros. El término “racional” se refiere a “ración” o parte de un todo. El uso de la letra Q es por el término quotient, que significa “cociente” en varios idiomas europeos.
La representación del conjunto de números racionales, utilizando la notación por comprensión, es:
q = {ab∣a, b ε z, b ≠ 0}
Léase “el conjunto de números racionales es igual al conjunto de elementos a/b, donde a y b pertenecen al conjunto de números enteros y b es distinto de cero”.
Los números racionales tienen representación decimal, con las siguientes propiedades:
Exacta: Cuando tiene un número finito de cifras decimales.
Periódica pura: Cuando toda la parte decimal se repite indefinidamente y cada repetición se llama periodo, se representa trazando una línea horizontal sobre el periodo.
Periódica mixta: Cuando no toda la parte decimal se repite.
Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin el punto; en el denominador un uno (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales, y se reduce a la fracción más simple.
Decimales periódicos puros: Se escribe como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto y la parte entera y como denominador, tantos “9” como números tenga el periodo.
Decimales periódicos mixtos: Se escribe como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto menos el número sin la parte periódica (también sin el punto) y el denominador tendrá tantos “9” como tiene el periodo, seguidos de tantos “0” como cifras decimales no periódicas haya.
Existen números cuya parte decimal es infinita no periódica, generándose así el conjunto de números irracionales.
Conjunto de números irracionales (I)
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros ya que poseen cifras decimales infinitas no periódicas. Así, un número irracional puede definirse como un decimal infinito no periódico; se encuentran en distintos contextos, por ejemplo: ¿Cuál debe ser el diámetro de un domo circular para que su perímetro sea de 4π m? ¿Cuál es la solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0? ¿Dónde hay que colocar las efes de un violín para lograr las mejores notas?, entre otros.
La representación del conjunto de números irracionales se hace mediante una I o Q', esta última por ser el complemento del conjunto de números racionales (Q).
Números irracionales representados con símbolos
π = 3.1415926535…, número de veces que se inscribe el diámetro de un círculo en su perímetro.
e = 2.7182818284…, base de los logaritmos naturales.
Փ = 1.6180339887…=152+, número áureo. Razón especialmente armónica entre los lados de un rectángulo.
jueves, 19 de abril de 2007
NÚMEROS, MODELOS MATEMÁTICOS Y REALIDAD
Autor. Rosa Isela Ríos Hernández
Los modelos matemáticos, en la vida diaria, permiten encontrar la solución a problemas cuyos resultados no son sencillamente números; son indicadores de decisiones que se deben tomar: cuánto pagar, cuánto dar de cambio, cuánto tiempo ha transcurrido, qué artículo con-viene comprar, qué trabajo es conveniente, cuál escuela elegir, etcétera.
Un modelo matemático es la representación de un hecho, evento o fenómeno mediante números, esquemas, ecuaciones, funciones, probabilidades, diagramas, entre otros. En muchos de estos modelos sólo se emplean los números reales.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
1. Presentar una situación simplificada del mundo real (en esta unidad, la situación a modelar será sólo con los números y sus operaciones).
2. Traducir la situación en terminología matemática y obtener el modelo.
3. Trabajar sobre el modelo para encontrar la solución del problema.
4. Interpretar la solución en términos no matemáticos.
Los modelos matemáticos, en la vida diaria, permiten encontrar la solución a problemas cuyos resultados no son sencillamente números; son indicadores de decisiones que se deben tomar: cuánto pagar, cuánto dar de cambio, cuánto tiempo ha transcurrido, qué artículo con-viene comprar, qué trabajo es conveniente, cuál escuela elegir, etcétera.
Un modelo matemático es la representación de un hecho, evento o fenómeno mediante números, esquemas, ecuaciones, funciones, probabilidades, diagramas, entre otros. En muchos de estos modelos sólo se emplean los números reales.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
1. Presentar una situación simplificada del mundo real (en esta unidad, la situación a modelar será sólo con los números y sus operaciones).
2. Traducir la situación en terminología matemática y obtener el modelo.
3. Trabajar sobre el modelo para encontrar la solución del problema.
4. Interpretar la solución en términos no matemáticos.
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