Autor: Antonio Fco. Devesa Botella
La representación de un polinomio con una forma especial en un producto se llama factorización; este proceso es inverso a productos notables, por ende, es importante identificar el desarrollo del producto notable con el cual se asocia.
La siguiente tabla muestra la forma especial de polinomio y su factorización respectiva, la cual corresponde a alguno de los productos notables, indicando nuevamente los nombres que reciben.
Forma especial de polinomio. Factorización
Polinomio con factor común: Por factor común:
ac + bc c(a + b)
Diferencia de cuadrados: Binomios conjugados:
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
Trinomio cuadrado perfecto: Binomio al cuadrado:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Trinomio de la forma: Binomios de la forma:
x2 + bx + c (x + n) (x + m)
donde: n + m = b y nm = c
Trinomio de la forma: Binomios de la forma:
ax2 + bx + c (rx + n) (sx + m)
donde: rs = a, ns + rm = b y nm = c
martes, 29 de abril de 2008
miércoles, 2 de enero de 2008
PRODUCTOS NOTABLES
Autor: Antonio Fco. Devesa Botella
En algunas ocasiones, al efectuar el producto de polinomios, éste tiene formas específicas a las que se llama producto notable. Lo anterior permite la multiplicación sin necesidad de realizar todo el proceso.
La aplicación en contexto de estos productos notables se presenta, por ejemplo, en los siguientes casos: si el área inicial de un terreno cuadrado es a2 y se le quita en un lado una cantidad b, y una cantidad c en su lado perpendicular al primero, entonces, el área del terreno resultante será (a – b) (a – c). Si al mismo terreno de área a2 se le aumenta en cada lado la misma cantidad b, entonces el área del terreno resultante se expresa como (a + b) (a + b) equivalente a (a + b)2.
La siguiente tabla muestra los productos notables, la forma especial del polinomio con la cual se asocia y los nombres que reciben.
Producto notable Polinomio asociado
Binomios con término común Trinomio de la forma
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
(a – b) (a + b) = a2 – b2
Binomios con término no común Trinomio de la forma
(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Binomios al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Binomios al cubo Polinomio con cuatro términos de la forma
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
En algunas ocasiones, al efectuar el producto de polinomios, éste tiene formas específicas a las que se llama producto notable. Lo anterior permite la multiplicación sin necesidad de realizar todo el proceso.
La aplicación en contexto de estos productos notables se presenta, por ejemplo, en los siguientes casos: si el área inicial de un terreno cuadrado es a2 y se le quita en un lado una cantidad b, y una cantidad c en su lado perpendicular al primero, entonces, el área del terreno resultante será (a – b) (a – c). Si al mismo terreno de área a2 se le aumenta en cada lado la misma cantidad b, entonces el área del terreno resultante se expresa como (a + b) (a + b) equivalente a (a + b)2.
La siguiente tabla muestra los productos notables, la forma especial del polinomio con la cual se asocia y los nombres que reciben.
Producto notable Polinomio asociado
Binomios con término común Trinomio de la forma
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
(a – b) (a + b) = a2 – b2
Binomios con término no común Trinomio de la forma
(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Binomios al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Binomios al cubo Polinomio con cuatro términos de la forma
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
sábado, 29 de septiembre de 2007
ECUACIONES, INECUACIONES Y CONTEXTO
Autor: Rosa Fargueta Calatayud
Las ecuaciones se aplican en la representación simbólica de modelos matemáticos que pueden anticipar realidades en diferentes ciencias, tales como química, física, biología, etc., así como, en la vida diaria. Es importante entender la asociación modelo matemático-realidad y observar que cada problema o situación conduce a modelos específicos.
Ecuación es toda igualdad entre dos expresiones algebraicas, o bien, entre dos polinomios; la expresión que aparece antes de la igualdad se llama miembro izquierdo y la que está después, miembro derecho.
Inecuación es toda desigualdad entre dos expresiones algebraicas, o bien, entre dos polinomios.
Encontrar la solución de una ecuación, implica encontrar el valor(es) de la(s) variable(s) de la ecuación que cumplan la igualdad; es decir, cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación es la solución de la misma. Es posible que ningún valor dado a la variable haga cierta la igualdad, o que para todo valor la ecuación sea válida. La solución de una inecuación es un conjunto de números que satisfacen la desigualdad.
3m4n3 + 13m3n2 + 3m2n – 6m + 7 es un polinomio de grado 4 respecto de m, y de grado 3 respecto de n.
En los siguientes polinomios se indica su grado con una variable.
1. P(x) = x2 + 5x + 6 es un polinomio de grado 2, o de segundo grado.
2. R(x) = 2x5 + 3x4 – 7x3 + 3x2 + 4x – 8 es un polinomio de grado 5.
3. Q(x) = 3x + 1 es un polinomio de grado uno, o de primer grado.
4. M(x) = x3 + 3x2 + 3x + 10 es un polinomio de grado 3, o de tercer grado.
Los polinomios se ordenan en forma decreciente, respecto de la variable de mayor exponente.
Multiplicación
Al multiplicarse dos polinomios, deben considerarse tres casos: monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio. En esta operación, además de aplicarse las propiedades de los exponentes, se aplican también las propiedades de la multiplicación de los números reales.
Al multiplicar dos o más polinomios, se multiplican los coeficientes con signo, y se suman los exponentes de una misma variable, término por término.
División
Al igual que en la multiplicación, al dividir dos polinomios deben considerarse tres casos: monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio. En esta operación se aplican las propiedades de los exponentes.
Al dividir un monomio entre otro monomio se dividen los coeficientes con signo, y se restan los exponentes de una misma variable.
Al dividir un polinomio entre polinomio, se realizan los siguientes pasos.
1. Se ordenan los términos del dividendo y del divisor en forma decreciente respecto de una de las variables, dejando en el dividendo un espacio para los términos de coeficiente cero.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para encontrar el primer término del cociente.
3. Se multiplica el término ya encontrado del cociente por cada uno de los términos del divisor, escribiendo el resultado con signo contrario de cada término bajo los términos semejantes correspondientes del dividendo.
4. Se efectúa una suma con los términos semejantes del dividendo y los encontrados en el paso 3, encontrando el residuo o bien un nuevo dividendo, bajando también el siguiente término del dividendo original.
5. Para encontrar los siguientes términos del cociente se repite lo mismo a partir del paso 2, hasta que el residuo sea cero o el exponente de la variable respecto de la cual se ordenó sea, por lo menos, una unidad menor al exponente mayor del divisor.
Las ecuaciones se aplican en la representación simbólica de modelos matemáticos que pueden anticipar realidades en diferentes ciencias, tales como química, física, biología, etc., así como, en la vida diaria. Es importante entender la asociación modelo matemático-realidad y observar que cada problema o situación conduce a modelos específicos.
Ecuación es toda igualdad entre dos expresiones algebraicas, o bien, entre dos polinomios; la expresión que aparece antes de la igualdad se llama miembro izquierdo y la que está después, miembro derecho.
Inecuación es toda desigualdad entre dos expresiones algebraicas, o bien, entre dos polinomios.
Encontrar la solución de una ecuación, implica encontrar el valor(es) de la(s) variable(s) de la ecuación que cumplan la igualdad; es decir, cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación es la solución de la misma. Es posible que ningún valor dado a la variable haga cierta la igualdad, o que para todo valor la ecuación sea válida. La solución de una inecuación es un conjunto de números que satisfacen la desigualdad.
3m4n3 + 13m3n2 + 3m2n – 6m + 7 es un polinomio de grado 4 respecto de m, y de grado 3 respecto de n.
En los siguientes polinomios se indica su grado con una variable.
1. P(x) = x2 + 5x + 6 es un polinomio de grado 2, o de segundo grado.
2. R(x) = 2x5 + 3x4 – 7x3 + 3x2 + 4x – 8 es un polinomio de grado 5.
3. Q(x) = 3x + 1 es un polinomio de grado uno, o de primer grado.
4. M(x) = x3 + 3x2 + 3x + 10 es un polinomio de grado 3, o de tercer grado.
Los polinomios se ordenan en forma decreciente, respecto de la variable de mayor exponente.
Multiplicación
Al multiplicarse dos polinomios, deben considerarse tres casos: monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio. En esta operación, además de aplicarse las propiedades de los exponentes, se aplican también las propiedades de la multiplicación de los números reales.
Al multiplicar dos o más polinomios, se multiplican los coeficientes con signo, y se suman los exponentes de una misma variable, término por término.
División
Al igual que en la multiplicación, al dividir dos polinomios deben considerarse tres casos: monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio. En esta operación se aplican las propiedades de los exponentes.
Al dividir un monomio entre otro monomio se dividen los coeficientes con signo, y se restan los exponentes de una misma variable.
Al dividir un polinomio entre polinomio, se realizan los siguientes pasos.
1. Se ordenan los términos del dividendo y del divisor en forma decreciente respecto de una de las variables, dejando en el dividendo un espacio para los términos de coeficiente cero.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para encontrar el primer término del cociente.
3. Se multiplica el término ya encontrado del cociente por cada uno de los términos del divisor, escribiendo el resultado con signo contrario de cada término bajo los términos semejantes correspondientes del dividendo.
4. Se efectúa una suma con los términos semejantes del dividendo y los encontrados en el paso 3, encontrando el residuo o bien un nuevo dividendo, bajando también el siguiente término del dividendo original.
5. Para encontrar los siguientes términos del cociente se repite lo mismo a partir del paso 2, hasta que el residuo sea cero o el exponente de la variable respecto de la cual se ordenó sea, por lo menos, una unidad menor al exponente mayor del divisor.
lunes, 13 de agosto de 2007
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Y ALGEBRAICOS
Autor: Rosa Fargueta Calatayud
En este tema se plantean situaciones problemáticas que implican el uso de operaciones con polinomios. Cada problema se tiene que razonar para hacer el planteamiento algebraico con sus respectivas operaciones y dar una respuesta correcta.
Ejemplo:
1. Un alumno resuelve nm23+ ejercicios de álgebra. De éstos, resultan mn+ correctos. ¿Cuántos ejercicios hizo incorrectos?
Para solucionar este problema, se tiene que efectuar la diferencia de los ejercicios que resolvió y los que hizo correctamente, para así obtener el total de los que realizó incorrectamente.
Operación: (3m + 2n) – (n + m) = (3m + 2n) + (–n – m) = (3m – m) + (2n – n) = 2m + n
En este tema se plantean situaciones problemáticas que implican el uso de operaciones con polinomios. Cada problema se tiene que razonar para hacer el planteamiento algebraico con sus respectivas operaciones y dar una respuesta correcta.
Ejemplo:
1. Un alumno resuelve nm23+ ejercicios de álgebra. De éstos, resultan mn+ correctos. ¿Cuántos ejercicios hizo incorrectos?
Para solucionar este problema, se tiene que efectuar la diferencia de los ejercicios que resolvió y los que hizo correctamente, para así obtener el total de los que realizó incorrectamente.
Operación: (3m + 2n) – (n + m) = (3m + 2n) + (–n – m) = (3m – m) + (2n – n) = 2m + n
domingo, 29 de julio de 2007
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Autor: Fernando López Juárez
Las operaciones con polinomios que pueden efectuarse son: suma, resta, multiplicación y división; éstas se aplican en diversos contextos, por ejemplo: se quiere cercar un terreno rectangular con malla, la cual tiene un costo de $45.00 el metro lineal y la persona encargada de hacer el trabajo cobra $250.00.
Si representamos el ancho del terreno por a y el largo por l, entonces, el pago que debe hacerse por la malla para cercar el ancho es 45a y el largo 45l; luego, para cercar todo, debe pagarse 45a + 45a + 45l + 45l + 250, igual a 90a + 90l + 250, situación en la cual se aplica una suma de polinomios.
Se hace otra cotización de precios para esta misma situación, en la cual el precio de la malla es de $40.00 metro lineal, y por realizar el trabajo se cobran $200.00, lo que indica que para cercar todo el terreno debe pagarse 80a + 80l + 200. El ahorro al elegir la segunda cotización se encuentra efectuando la resta (90a + 90l + 250) – (80a + 80l + 200), igual a 10a + 10l + 50.
Obsérvese que con los coeficientes siempre se efectúa la misma operación indicada para los polinomios; con los exponentes, la operación efectuada entre ellos depende de sus propiedades.
Para encontrar el resultado correcto de las operaciones con polinomios se sugiere identificar los términos que las conforman.
Suma y resta
En estas dos operaciones lo importante es identificar los términos semejantes en los polinomios.
Términos semejantes: Son aquellos que tienen iguales variables y exponentes, respectivamente, sin considerar los coeficientes.
Ordenación . Un polinomio puede expresarse con una o más variables, las cuales pueden ser diferentes letras: a, b, c, x, y, z, etc.; o bien, una misma letra con distintos subíndices: a1, a2, a3, a4, … estas variables presentan también exponentes numéricos distintos, y el exponente mayor respecto de una de las variables indica el grado del mismo.
La forma en que se ordenan los términos de un polinomio puede ser: creciente o decreciente, siendo ésta la más frecuente.
Forma creciente: Se ordenan los términos del polinomio, del menor al mayor exponente respecto de una de sus variables.
Forma decreciente: Se ordenan los términos del polinomio, del mayor al menor exponente respecto de una de sus variables.
A continuación, se indica el grado de los polinomios respecto de cada una de sus variables.
1. 5a5b – 3a3b2 + 10ab3 + 5a – 7b es un polinomio de grado 5 respecto de a, y de grado 3 respecto de b.
2. 3 x2y4 + 7x2y2 + 5xy – 1 es un polinomio de grado 2 respecto de x, y de grado 4 respecto de y.
Fracciones algebraicas
Las reglas para operar las fracciones algebraicas son las mismas que se utilizan con las fracciones aritméticas. Simplificar correctamente una fracción algebraica y efectuar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre éstas, depende del dominio que se tenga con los productos notables y la factorización, así como con los procedimientos utilizados para realizar operaciones con fracciones aritméticas.
Las operaciones con polinomios que pueden efectuarse son: suma, resta, multiplicación y división; éstas se aplican en diversos contextos, por ejemplo: se quiere cercar un terreno rectangular con malla, la cual tiene un costo de $45.00 el metro lineal y la persona encargada de hacer el trabajo cobra $250.00.
Si representamos el ancho del terreno por a y el largo por l, entonces, el pago que debe hacerse por la malla para cercar el ancho es 45a y el largo 45l; luego, para cercar todo, debe pagarse 45a + 45a + 45l + 45l + 250, igual a 90a + 90l + 250, situación en la cual se aplica una suma de polinomios.
Se hace otra cotización de precios para esta misma situación, en la cual el precio de la malla es de $40.00 metro lineal, y por realizar el trabajo se cobran $200.00, lo que indica que para cercar todo el terreno debe pagarse 80a + 80l + 200. El ahorro al elegir la segunda cotización se encuentra efectuando la resta (90a + 90l + 250) – (80a + 80l + 200), igual a 10a + 10l + 50.
Obsérvese que con los coeficientes siempre se efectúa la misma operación indicada para los polinomios; con los exponentes, la operación efectuada entre ellos depende de sus propiedades.
Para encontrar el resultado correcto de las operaciones con polinomios se sugiere identificar los términos que las conforman.
Suma y resta
En estas dos operaciones lo importante es identificar los términos semejantes en los polinomios.
Términos semejantes: Son aquellos que tienen iguales variables y exponentes, respectivamente, sin considerar los coeficientes.
Ordenación . Un polinomio puede expresarse con una o más variables, las cuales pueden ser diferentes letras: a, b, c, x, y, z, etc.; o bien, una misma letra con distintos subíndices: a1, a2, a3, a4, … estas variables presentan también exponentes numéricos distintos, y el exponente mayor respecto de una de las variables indica el grado del mismo.
La forma en que se ordenan los términos de un polinomio puede ser: creciente o decreciente, siendo ésta la más frecuente.
Forma creciente: Se ordenan los términos del polinomio, del menor al mayor exponente respecto de una de sus variables.
Forma decreciente: Se ordenan los términos del polinomio, del mayor al menor exponente respecto de una de sus variables.
A continuación, se indica el grado de los polinomios respecto de cada una de sus variables.
1. 5a5b – 3a3b2 + 10ab3 + 5a – 7b es un polinomio de grado 5 respecto de a, y de grado 3 respecto de b.
2. 3 x2y4 + 7x2y2 + 5xy – 1 es un polinomio de grado 2 respecto de x, y de grado 4 respecto de y.
Fracciones algebraicas
Las reglas para operar las fracciones algebraicas son las mismas que se utilizan con las fracciones aritméticas. Simplificar correctamente una fracción algebraica y efectuar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre éstas, depende del dominio que se tenga con los productos notables y la factorización, así como con los procedimientos utilizados para realizar operaciones con fracciones aritméticas.
lunes, 23 de julio de 2007
EXPONENTES Y RADICALES
Autor: Fernando López Juárez
La potencia de un número real se representa mediante exponentes. El exponente positivo indica el número de veces que se multiplica por sí mismo el número real.
Estos exponentes, en el caso de polinomios, se aplican, por ejemplo, en la representación del área de un cuadrado o el volumen de un cubo: si uno de los lados del cuadrado es 3x + 2, su área será (3x + 2)2; si la arista de un cubo es 5x, su volumen será (5x)3. Otro ejemplo es cuando se representa la cantidad de galletas que deberá elaborar una fábrica para distribuir x + 4 cajas que contienen x + 4 cajas más pequeñas, las cuales contienen x + 4 paquetes individuales y cada paquete tiene x + 4 galletas, entonces el polinomio es: (x + 4)4
Los exponentes pueden ser negativos, cero o fraccionarios y se describen a continuación:
Exponente negativo
El exponente negativo indica el recíproco de un número, y para convertirlo a positivo debes cambiar la posición de dicho número, de numerador a denominador, o viceversa.
Exponente cero
Si a es un número real diferente de 0, elevado a la 0 es igual a 1
Exponente fraccionario
Un exponente fraccionario representa un radical, en donde el numerador del exponente indica la potencia del radicando y el denominador del exponente, el índice del radical.
Si a es un número real y m, n son números enteros, con n, 2.
La potencia de un número real se representa mediante exponentes. El exponente positivo indica el número de veces que se multiplica por sí mismo el número real.
Estos exponentes, en el caso de polinomios, se aplican, por ejemplo, en la representación del área de un cuadrado o el volumen de un cubo: si uno de los lados del cuadrado es 3x + 2, su área será (3x + 2)2; si la arista de un cubo es 5x, su volumen será (5x)3. Otro ejemplo es cuando se representa la cantidad de galletas que deberá elaborar una fábrica para distribuir x + 4 cajas que contienen x + 4 cajas más pequeñas, las cuales contienen x + 4 paquetes individuales y cada paquete tiene x + 4 galletas, entonces el polinomio es: (x + 4)4
Los exponentes pueden ser negativos, cero o fraccionarios y se describen a continuación:
Exponente negativo
El exponente negativo indica el recíproco de un número, y para convertirlo a positivo debes cambiar la posición de dicho número, de numerador a denominador, o viceversa.
Exponente cero
Si a es un número real diferente de 0, elevado a la 0 es igual a 1
Exponente fraccionario
Un exponente fraccionario representa un radical, en donde el numerador del exponente indica la potencia del radicando y el denominador del exponente, el índice del radical.
Si a es un número real y m, n son números enteros, con n, 2.
domingo, 17 de junio de 2007
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Autor: Rosa Isela Ríos Hernández
Los polinomios tienen las siguientes propiedades para verificar su igualdad:
Propiedades de la igualdad Sean p (x), q (x) y r (x) polinomios
• Reflexiva p (x) = p (x)
• Simétrica Si p (x) = q (x), entonces q (x) = p (x)
• Transitiva Si p (x) = q (x) y q(x) = r (x), entonces p (x) = r (x)
• Monotonía de la suma Si p (x) = q (x), entonces p (x) + r (x) = q (x) + r (x)
• Monotonía de la multiplicación Si p (x) = q (x), entonces p (x) r (x) = q (x) r (x)
Es importante señalar que dos o más polinomios son iguales si sus términos son iguales; es decir, los factores numérico y literal son los mismos.
Los polinomios tienen las siguientes propiedades para verificar su igualdad:
Propiedades de la igualdad Sean p (x), q (x) y r (x) polinomios
• Reflexiva p (x) = p (x)
• Simétrica Si p (x) = q (x), entonces q (x) = p (x)
• Transitiva Si p (x) = q (x) y q(x) = r (x), entonces p (x) = r (x)
• Monotonía de la suma Si p (x) = q (x), entonces p (x) + r (x) = q (x) + r (x)
• Monotonía de la multiplicación Si p (x) = q (x), entonces p (x) r (x) = q (x) r (x)
Es importante señalar que dos o más polinomios son iguales si sus términos son iguales; es decir, los factores numérico y literal son los mismos.
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