domingo, 29 de abril de 2007

DESARROLLO DEL SISTEMA DE NÚMEROS REALES

Autor: Rosa Isela Ríos Hernández

A través de la evolución de las necesidades humanas, se formaron diferentes conjuntos de números tales como: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales; cada uno de ellos tiene características muy particulares, las cuales veremos más adelante.

Conjuntos de números

N: Naturales
Z: Enteros
Q: Racionales
I , Q': Irracionales
R: Reales

Notación de conjuntos

Es preciso conocer la notación de conjuntos para representar el conjunto de números reales.
Simbología
ε “pertenece a”
⊂ “contenido en” ⋃ “unión”
∣ “tal que”
∉ “no pertenece a”
⊄ “no contenido en”
⋂ “intersección”
⌀ “conjunto vacío”
Qc, Q' “Q complemento”

En la notación de conjuntos se debe tener en cuenta las siguientes observaciones:
· Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: N, Z, Q, I, R,...
· Los elementos que forman parte de un conjunto tienen cualidades específicas y no se repiten. Se representan con letras minúsculas: k, n, x, y,…
· Un conjunto se representa colocando sus elementos entre llaves: {k, n, x, y}, si el conjunto es finito; o bien, {k, n, x, y,…}, si el conjunto es infinito.
· Si un elemento X es parte de un conjunto Z, se simboliza X ε Z (léase “X pertene-ce a Z”). Su negación es X ∉ Z (léase “X no pertenece a Z”).
· Si un conjunto N es parte de un conjunto R, se dice que N es subconjunto de R y se simboliza N ⊂ R (léase “N contenido en R”). Su negación es N ⊄ R (léase “N no contenido en R”).
· La notación por extensión que define un conjunto muestra todos los elementos del conjunto.
· La notación por comprensión que define un conjunto utiliza variables y una propo-sición que indica las propiedades de sus elementos.
· El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se representa por ⌀.
· El ⌀ está contenido en todo conjunto, y todo conjunto está contenido en sí mismo.
· La unión (⋃) de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de ambos conjuntos. Si N ⊂ R, entonces N ⋃ R= R
· La intersección (⋂) de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene los elementos comunes de ambos conjuntos. Si N ⊂ R, entonces N ⋂ R = N
· Si Q es un conjunto, Q' es su conjunto complemento y R es el conjunto universo, entonces los elementos que pertenecen a Q' son todos aquellos que pertenecen a R, pero no a Q.


Conjunto de números naturales (N)

Los números naturales son el primer conjunto de números que se formó por la necesidad de contar los objetos de la naturaleza. ¿Cuántos frutos hay…?, ¿cuántas personas van…?, ¿cuántos árboles se sembraron…?, ¿cuántas plantas se cultivaron…?, etcétera.

La representación del conjunto de números naturales, mediante la notación por extensión, es la siguiente:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} Ejemplos de subconjuntos de N son:
Unidad = {1}
Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}
Compuestos ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}
Múltiplos de k = {k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k,…}
Múltiplos de 4= {4, 8, 12, 16, 20, 24,…}
Divisores de 12= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12…}
Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}

Conjunto de números enteros (Z)

Los números enteros contienen al cero y a los números negativos, mismos que pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas (débito), profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero y déficit monetario, entre otros. El hecho de que un número sea entero significa que no tiene parte decimal; es decir, no puede dividirse, a menos que la división sea exacta. El origen del uso de la letra z para representar a este conjunto proviene del alemán zahlen, que significa “números”.

La representación del conjunto de números enteros, mediante la notación por extensión, es la siguiente:
z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Ejemplos de subconjuntos de z son:
Enteros positivos = {1, 2, 3, 4, 5,…}
Enteros negativos = {…, -4, -3, -2, -1}
Enteros no negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
Enteros no positivos = {…, -4, -3, -2, -1, 0}
Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conjunto de números racionales (Q)

Con los números racionales se da solución a una infinidad de situaciones problemáticas en distintos contextos; por ejemplo: “esperé 3/4 de hora en el banco”, “recorres 1/2 kilómetro de la escuela a tu casa”, “compré un libro en $150.50”, “Luis pesa 58.2 kg”, entre otros. El término “racional” se refiere a “ración” o parte de un todo. El uso de la letra Q es por el término quotient, que significa “cociente” en varios idiomas europeos.
La representación del conjunto de números racionales, utilizando la notación por comprensión, es:
q = {ab∣a, b ε z, b ≠ 0}
Léase “el conjunto de números racionales es igual al conjunto de elementos a/b, donde a y b pertenecen al conjunto de números enteros y b es distinto de cero”.

Los números racionales tienen representación decimal, con las siguientes propiedades:

Exacta: Cuando tiene un número finito de cifras decimales.

Periódica pura: Cuando toda la parte decimal se repite indefinidamente y cada repetición se llama periodo, se representa trazando una línea horizontal sobre el periodo.

Periódica mixta: Cuando no toda la parte decimal se repite.

Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin el punto; en el denominador un uno (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales, y se reduce a la fracción más simple.

Decimales periódicos puros: Se escribe como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto y la parte entera y como denominador, tantos “9” como números tenga el periodo.

Decimales periódicos mixtos: Se escribe como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto menos el número sin la parte periódica (también sin el punto) y el denominador tendrá tantos “9” como tiene el periodo, seguidos de tantos “0” como cifras decimales no periódicas haya.

Existen números cuya parte decimal es infinita no periódica, generándose así el conjunto de números irracionales.

Conjunto de números irracionales (I)

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros ya que poseen cifras decimales infinitas no periódicas. Así, un número irracional puede definirse como un decimal infinito no periódico; se encuentran en distintos contextos, por ejemplo: ¿Cuál debe ser el diámetro de un domo circular para que su perímetro sea de 4π m? ¿Cuál es la solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0? ¿Dónde hay que colocar las efes de un violín para lograr las mejores notas?, entre otros.
La representación del conjunto de números irracionales se hace mediante una I o Q', esta última por ser el complemento del conjunto de números racionales (Q).
Números irracionales representados con símbolos
π = 3.1415926535…, número de veces que se inscribe el diámetro de un círculo en su perímetro.
e = 2.7182818284…, base de los logaritmos naturales.
Փ = 1.6180339887…=152+, número áureo. Razón especialmente armónica entre los lados de un rectángulo.